首页 > 设复数z1，z2满足z1z2+2iz1-2iz2+1=0．（Ⅰ）若z1，z2满足.z2-z1=2i，求z1，z2；（Ⅱ）若|z1|=3，是否存在常数k，使得等式|z2-4i|=k恒成立，若存在，试求出

设复数z1，z2满足z1z2+2iz1-2iz2+1=0．（Ⅰ）若z1，z2满足.z2-z1=2i，求z1，z2；（Ⅱ）若|z1|=3，是否存在常数k，使得等式|z2-4i|=k恒成立，若存在，试求出

题目简介

设复数z1，z2满足z1z2+2iz1-2iz2+1=0．（Ⅰ）若z1，z2满足.z2-z1=2i，求z1，z2；（Ⅱ）若|z1|=3，是否存在常数k，使得等式|z2-4i|=k恒成立，若存在，试求出

题目详情

设复数z1，z2满足z1z2+2i z1-2i z2+1=0．
（Ⅰ）若z1，z2满足
.
z2
-z1=2i，求z1，z2；
（Ⅱ）若|z1|=
3
，是否存在常数k，使得等式|z2-4 i|=k恒成立，若存在，试求出k；若不存在说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）由
.
z2
=z1+2i，两边同时取共轭复数可得：z2=
.
z1
-2i．
代入已知方程得：z1（
.
z1
-2i）+2iz1-2i（
.
z1
-2i）+1=0．
即|z1|2-2i
.
z1
-3=0．令z1=a+bi，
即可得到a2+b2-2i（a-bi）-3=0．
即（a2+b2-2b-3）-2ai=0．
解得a=0，b=3，或a=0，b=-1．
∴z1=3i，z2=-5i，或z1=-i，z2=-i．
（Ⅱ）由已知得z1=
2iz2-1
z2+2i
．又∵|z1|=
3
，
∴|
2iz2-1
z2+2i
|=
3
．
∴|2iz2-1|2=3|z2+2i|2．
∴（2iz2-1）（-2i
.
z2
-1）=3（z2+2i）（
.
z2
-2i）．
整理得：z2
.
z2
+4iz2-4i
.
z2
-11=0．
即（z2-4i）（
.
z2
+4i）=27．
∴|z2-4i|2=27，
即|z2-4i|=3
3
．
∴存在常数k=3
3
，使得等式|z2-4i|=k恒成立．

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