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设复数z=cosθ+isinθ（0＜θ＜π），ω=1-(.z)41+z4，并且|ω|=33，argω＜π2，求θ．-数学

题目简介

设复数z=cosθ+isinθ（0＜θ＜π），ω=1-(.z)41+z4，并且|ω|=33，argω＜π2，求θ．-数学

题目详情

设复数z=cosθ+isinθ（0＜θ＜π），ω=
1-(
.
z
)4
1+z4
，并且|ω|=
3
3
，argω＜
π
2
，求θ．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

解法一ω=
1-[cos(-θ)+isin(-θ)]4
1+[cosθ+isinθ]4
=
1-cos(-4θ)-isin(-4θ)
1+cos4θ+isin4θ
=
2sin22θ+2isin2θcos2θ
2cos22θ+2isin2θcos2θ
=tg2θ（sin4θ+icos4θ）．|ω|=|tg2θ|•|sin4θ+icos4θ|=|tg2θ|=
3
3
，tg2θ=±
3
3
．
因0＜θ＜π，故有
（ⅰ）当tg2θ=
3
3
时，得θ=class="stub"π
12
或θ=class="stub"7π
12
，这时都有ω=
3
3
(cosclass="stub"π
6
+isinclass="stub"π
6
)，
得argω=class="stub"π
6
＜class="stub"π
2
，适合题意．
（ⅱ）当tg2θ=-
3
3
时，得θ=class="stub"5π
12
或θ=class="stub"11π
12
，这时都有ω=
3
3
(cosclass="stub"11π
6
+isinclass="stub"11π
6
)，
得argω=class="stub"11π
6
＞class="stub"π
2
，不适合题意，舍去．
综合（ⅰ）、（ⅱ）知θ=class="stub"π
12
或θ=class="stub"7π
12
．
解法二z4=cos4θ+isin4θ．
记φ=4θ，得(
.
z
)4=
.
(z4)
=cosϕ-isinϕ．ω=class="stub"1-cosϕ+isinϕ
1+cosϕ+isinϕ
．=class="stub"sinϕ
1+cosϕ
(sinϕ+icosϕ)=tgclass="stub"ϕ
2
(sinϕ+icosϕ)．∵|ω|=
3
3
，argω＜class="stub"π
2
，
①②③
∴
|tgclass="stub"ϕ
2
|=
3
3
tgclass="stub"ϕ
2
•sinϕ＞0
tgclass="stub"ϕ
2
•cosϕ≥0

当①成立时，②恒成立，所以θ应满足
（ⅰ）
0＜θ＜π
tg2θ=
3
3
cos4θ≥0
，或（ⅱ）
0＜θ＜π
tg2θ=-
3
3
cos4θ≤0
，
解（ⅰ）得θ=class="stub"π
12
或θ=class="stub"7π
12
．（ⅱ）无解．
综合（ⅰ）、（ⅱ）θ=class="stub"π
12
或θ=class="stub"7π
12
．

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