首页 > 设函数f（x）=3sinxcosx+cos2x+a．（1）写出函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）当x∈[-π6，π3]时，函数f（x）的最大值与最小值的和为32，求f（x）的图象、y轴的正

设函数f（x）=3sinxcosx+cos2x+a．（1）写出函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）当x∈[-π6，π3]时，函数f（x）的最大值与最小值的和为32，求f（x）的图象、y轴的正

题目简介

设函数f（x）=3sinxcosx+cos2x+a．（1）写出函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）当x∈[-π6，π3]时，函数f（x）的最大值与最小值的和为32，求f（x）的图象、y轴的正

题目详情

设函数f（x）=
3
sinxcosx+cos2x+a．
（1）写出函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）当x∈[-
π
6
，
π
3
]时，函数f（x）的最大值与最小值的和为
3
2
，求f（x）的图象、y轴的正半轴及x轴的正半轴三者围成图形的面积．
题型：解答题难度：中档来源：聊城一模

答案

（1）f（x）=
3
2
sin2x+class="stub"1+cos2x
2
+a=sin（2x+class="stub"π
6
）+a+class="stub"1
2

∴T=π
由class="stub"π
2
+2kπ≤2x+class="stub"π
6
≤class="stub"3π
2
+2kπ，得class="stub"π
6
+kπ≤x≤class="stub"2π
3
+kπ
故函数f（x）的单调递减区间是[class="stub"π
6
+kπ，class="stub"2π
3
+kπ]（k∈Z）
（2）∵-class="stub"π
6
≤x≤class="stub"π
3
，∴-class="stub"π
6
≤2x+class="stub"π
6
≤class="stub"5π
6
，∴-class="stub"1
2
≤sin(2x+class="stub"π
6
)≤1
当x∈[-class="stub"π
6
，class="stub"π
3
]时，原函数的最大值与最小值的和（1+a+class="stub"1
2
）+（-class="stub"1
2
+a+class="stub"1
2
）=class="stub"3
2

∴a=0，∴f（x）=sin（2x+class="stub"π
6
）+class="stub"1
2

f（x）的图象与x轴正半轴的第一个交点为（class="stub"π
2
，0）
所以f（x）的图象、y轴的正半轴及x轴的正半轴三者围成图形的面积
S=
∫class="stub"π
2
0
[sin(2x+class="stub"π
6
)+class="stub"1
2
]dx=[-class="stub"1
2
cos(2x+class="stub"π
6
)+class="stub"x
2
]
|class="stub"π
2
0
=
2
3
+π
4

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