首页 > 已知函数f（x）=-13x3+bx2+cx+bc，（1）若函数f（x）在x=1处有极值-43，试确定b、c的值；（2）在（1）的条件下，曲线y=f（x）+m与x轴仅有一个交点，求实数m的取值范围；（3

已知函数f（x）=-13x3+bx2+cx+bc，（1）若函数f（x）在x=1处有极值-43，试确定b、c的值；（2）在（1）的条件下，曲线y=f（x）+m与x轴仅有一个交点，求实数m的取值范围；（3

题目简介

已知函数f（x）=-13x3+bx2+cx+bc，（1）若函数f（x）在x=1处有极值-43，试确定b、c的值；（2）在（1）的条件下，曲线y=f（x）+m与x轴仅有一个交点，求实数m的取值范围；（3

题目详情

已知函数f（x）=-
1
3
x3+bx2+cx+bc，
（1）若函数f（x）在x=1处有极值-
4
3
，试确定b、c的值；
（2）在（1）的条件下，曲线y=f（x）+m与x轴仅有一个交点，求实数m的取值范围；
（3）记g（x）=|f′（  x）|（-1≤x≤1）的最大值为M，若M≥k对任意的b、c恒成立，试求k的取值范围．
（参考公式：x3-3bx2+4b3=（x+b）（x-2b）2）
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）解
f(1)=-class="stub"4
3
f/(1)=0
得
b=1
c=-1
或
b=-1
c=3
．…（2分）
若
b=1
c=-1
，f(x)=-class="stub"1
3
x3+x2-x-1，f'（x）=-x2+2x-1=-（x-1）2≤0f（x）在R上单调递减，在x=1处无极值；
若
b=-1
c=3
，f(x)=-class="stub"1
3
x3-x2+3x-3，f'（x）=-x2-2x+3=-（x-1）（x+3），
直接讨论知，f（x）在x=1处有极大值，所以
b=-1
c=3
为所求．…（4分）
（2）由（1）y=f(x)+m=-class="stub"1
3
x3-x2+3x-3+m，y极小值=m-12，y极大值=m-class="stub"4
3
，…（6分）
当y极小值=m-12＞0，或y极大值=m-class="stub"4
3
＜0，曲线y=f（x）+m与x轴仅有一个交点．…（8分）
因此，实数m的取值范围是m＞12或m＜class="stub"4
3
．…（9分）
（3）g（x）=|-（x-b）2+b2+c|．若|b|＞1，
则f'（x）在[-1，1]是单调函数，M=max{|f'（-1）|，|f'（1）|}={|-1+2b+c|，|-1-2b+c|}，因为f'（1）与f'（-1）之差的绝对值|f'（1）-f'（-1）|=|4b|＞4，所以M＞2．…（11分）
若|b|≤1，f'（x）在x=b∈[-1，1]取极值，
则M=max{|f'（-1）|，|f'（1）|，|f'（b）|}，f'（b）-f'（±1）=（b∓1）2．
若-1≤b＜0，f'（1）≤f'（-1）≤f'（b），M=max{|f′(1)|，|f′(b)|}≥class="stub"1
2
|f′(1)-f′(b)|=class="stub"1
2
(b-1)2＞class="stub"1
2
；
若0≤b≤1，f'（-1）≤f'（1）≤f'（b），M=max{|f'（-1）|，|f'（b）|}≥class="stub"1
2
|f′(-1)-f′(b)|=class="stub"1
2
(b+1)2≥class="stub"1
2
．
当b=0，c=class="stub"1
2
时，g(x)=|f′(x)|=|-x2+class="stub"1
2
|在[-1，1]上的最大值M=class="stub"1
2
．…（13分）
所以，k的取值范围是(-∞，class="stub"1
2
]．…（14分）

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