首页 > 已知函数f（x）=x2+bsinx-2，（b∈R），且对任意x∈R，有f（-x）=f（x）．（1）求b；（2）已知g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上为单调函数，求实数a的取值

已知函数f（x）=x2+bsinx-2，（b∈R），且对任意x∈R，有f（-x）=f（x）．（1）求b；（2）已知g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上为单调函数，求实数a的取值

题目简介

已知函数f（x）=x2+bsinx-2，（b∈R），且对任意x∈R，有f（-x）=f（x）．（1）求b；（2）已知g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上为单调函数，求实数a的取值

题目详情

已知函数f（x）=x2+bsinx-2，（b∈R），且对任意x∈R，有f（-x）=f（x）．
（1）求b；
（2）已知g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上为单调函数，求实数a的取值范围．
（3）讨论函数h(x)=ln(1+x2)-
1
2
f(x)-k的零点个数？（提示：[ln(1+x2)]′=
2x
1+x2
）
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由f（-x）=（-x）2+bsin（-x）-2=f（x）得b=0．…（2分）
（2）g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx=x2+2x+alnx所以g′(x)=2x+2+class="stub"a
x
(x＞0)…（4分）
依题意，2x+2+class="stub"a
x
≥0或2x+2+class="stub"a
x
≤0在（0，1）上恒成立…（6分）
即2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0在（0，1）上恒成立
由a≥-2x2-2x=-2(x+class="stub"1
2
)2+class="stub"1
2
在（0，1）上恒成立，可知a≥0．
由a≤-2x2-2x=-2(x+class="stub"1
2
)2+class="stub"1
2
在（0，1）上恒成立，
可知a≤-4，所以a≥0或a≤-4．…（9分）
（3）h(x)=ln(1+x2)-class="stub"1
2
x2+1-k，令y=ln(1+x2)-class="stub"1
2
x2+1．
所以y′=class="stub"2x
1+x2
-x=-
(x+1)x(x-1)
x2+1
…（10分）
令y'=0，则x1=-1，x2=0，x3=1，列表如下：
x（-∞，-1）-1（-1，0）0（0，1）1（1，+∞）
y'+0-0+0-
h（x）单调递增极大值ln2+class="stub"1
2
单调递减极小值1单调递增极大值ln2+class="stub"1
2
单调递减
所以当k＞ln2+class="stub"1
2
时，函数无零点；
当k＜1或k=ln2+class="stub"1
2
时，函数有两个零点；当k=1时，函数有三个零点．当1＜k＜ln2+class="stub"1
2
时，函数有四个零点．…（16分）

更多内容推荐

Copyright © 2018-2020 360优课网