已知f(x)是定义在[-1,1]上的函数,且f(x)=f(-x),当a,b∈[-1,0],且a≠b时恒有[f(a)-f(b)](a-b)>0,f(0)=1,f(14)=12.(1)若f(x)<2m+3

题目简介

已知f(x)是定义在[-1,1]上的函数,且f(x)=f(-x),当a,b∈[-1,0],且a≠b时恒有[f(a)-f(b)](a-b)>0,f(0)=1,f(14)=12.(1)若f(x)<2m+3

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已知f(x)是定义在[-1,1]上的函数,且f(x)=f(-x),当a,b∈[-1,0],且a≠b时恒有[f(a)-f(b)](a-b)>0,f(0)=1,f(
1
4
)=
1
2

(1)若f(x)<2m+3对于x∈[-1,1]恒成立,求m的取值范围;
(2)若2f(2x-
1
4
)>1
,求x的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)由题意知:函数f(x)为偶函数,且x∈[-1,0]时,f(x)单调递增.
故x∈[0,1]时,f(x)单调递减.----------------------------------------(4分)
所以f(x)的最大值为f(0)=1,
故2m+3>1⇒m>-1------(7分)
(2)∵f(class="stub"1
4
)=class="stub"1
2
,∴2f(2x-class="stub"1
4
)>1⇒f(2x-class="stub"1
4
)>class="stub"1
2
=f(class="stub"1
4
)
-----------------------(10分)
由(1)函数f(x)的单调性可知-class="stub"1
4
<2x-class="stub"1
4
<class="stub"1
4
0<x<class="stub"1
4
------------------------------------(13分)

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