已知函数f(x)=x2+x+ax(x≠0,a∈R)(Ⅰ)当a<0时,证明:函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数;(Ⅱ)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.-数学

题目简介

已知函数f(x)=x2+x+ax(x≠0,a∈R)(Ⅰ)当a<0时,证明:函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数;(Ⅱ)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.-数学

题目详情

已知函数f(x)=
x2+x+a
x
(x≠0,a∈R)

(Ⅰ)当a<0时,证明:函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数;
(Ⅱ)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)f(x)=
x2+x+a
x
=x+class="stub"a
x
+1(x≠0)

设任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,…(1分)
f(x1)-f(x2)=
x 1
+class="stub"a
x1
-
x 2
-class="stub"a
x2
=(x1-x2)(1-class="stub"a
x1x2
)
…(4分)
∵0<x1<x2,a<0,
x1-x2<0 , 1-class="stub"a
x1x2
>0 , (x1-x2)(1-class="stub"a
x1x2
)<0

即f(x1)<f(x2)…(6分)
所以,函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,…(7分)
(Ⅱ)解法1:当a≥0,x∈[1,+∞)时,函数f(x)>0,…(9分)
当a<0时,由(Ⅰ)知:函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,…(10分)
故当x=1时,f(x)min=2+a,…(12分)
于是当且仅当f(x)min=2+a>0,函数f(x)>0恒成立,故-2<a<0.
综上所述,所求实数a的取值范围是(-2,+∞)…(14分)
解法2::f(x)=
x2+x+a
x
>0
,x∈[1,+∞)恒成立,⇔x2+x+a>0,x∈[1,+∞)恒成立.…(9分)
设y=x2+x+a,x∈[1,+∞)
y=x2+x+a=(x+class="stub"1
2
)2+a-class="stub"1
4
,在区间[1,+∞)上是增函数,…(10分)
∴当x=1时,f(x)min=2+a,…(12分)
于是当且仅当f(x)min=2+a>0,函数f(x)>0恒成立,故a>-2.
所以,所求实数a的取值范围是(-2,+∞).…(14分)

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