已知函数f(x)=ln2-xa+x是奇函数,(1)求a的值;(2)求函数f(x)的定义域;(3)求证f(x)在定义域上是单调减函数.-数学

题目简介

已知函数f(x)=ln2-xa+x是奇函数,(1)求a的值;(2)求函数f(x)的定义域;(3)求证f(x)在定义域上是单调减函数.-数学

题目详情

已知函数f(x)=ln
2-x
a+x
是奇函数,
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的定义域;
(3)求证f(x)在定义域上是单调减函数.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵函数f(x)=lnclass="stub"2-x
a+x
是奇函数,∴f(x)=-f(-x),
即lnclass="stub"2-x
a+x
=-lnclass="stub"2+x
a-x
=lnclass="stub"a-x
2+x
,则class="stub"2-x
a+x
=class="stub"a-x
2+x
,化简得:4-x2=a2-x2,
解得a=±2,当a=-2时,f(x)=ln(-1)故舍去,故a=2.
(2)由(1)知,a=2故f(x)=lnclass="stub"2-x
2+x

要使函数有意义,则class="stub"2-x
2+x
>0,即(2-x)(2+x)>0,
解得,-2<x<2;故函数f(x)的定义域(-2,2).
(3)证明:任取实数x1,x2∈(-2,2),且x1<x2,
2-x1
2+x1
-
2-x2
2+x2
=
(2-x1)(2+x2)-(2-x2)(2+x1)   
(2+x1)(2+x2
=
4(x2-x1
(2+x1)(2+x2

∵x1,x2∈(-2,2),x1<x2;
∴2+x1>0,2+x2>0;x2-x1>0,
2-x1
2+x1
-
2-x2
2+x2
>0,即
2-x1
2+x1
2-x2
2+x2

∵函数y=lnx在定义域内时增函数,∴f(x1)>f(x2),
∴f(x)在定义域(-2,2)上是单调减函数.

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