设a,b∈R且a≠2,函数f(x)=lg1+ax1+2x在区间(-b,b)上是奇函数.(Ⅰ)求ab的取值集合;(Ⅱ)讨论函数f(x)在(-b,b)上的单调性.-数学

题目简介

设a,b∈R且a≠2,函数f(x)=lg1+ax1+2x在区间(-b,b)上是奇函数.(Ⅰ)求ab的取值集合;(Ⅱ)讨论函数f(x)在(-b,b)上的单调性.-数学

题目详情

设a,b∈R且a≠2,函数f(x)=lg
1+ax
1+2x
在区间(-b,b)上是奇函数.
(Ⅰ)求ab的取值集合;
(Ⅱ)讨论函数f(x)在 (-b,b)上的单调性.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(I)函数f(x)=lgclass="stub"1+ax
1+2x
在区间(-b,b)内是奇函数
∴对任意x∈(-b,b)都有f(-x)+f(x)=0,
lgclass="stub"1-ax
1-2x
+lgclass="stub"1+ax
1+2x
=lg
1-a2x2
1-4x2
=0
1-a2x2
1-4x2
=1

即a2x2=4x2,此式对任意x∈(-b,b)都成立
∴a2=4
又∵a≠2,∴a=-2
代入class="stub"1+ax
1+2x
,得class="stub"1-2x
1+2x
>0,即-class="stub"1
2
<x<class="stub"1
2

此式对任意x∈(-b,b)都成立,相当于-class="stub"1
2
<-b<b<class="stub"1
2

所以b的取值范围是(0,class="stub"1
2
]
∴ab的取值集合为[-1,0)
(II)设任意的x1,x2∈(-b,b),且x1<x2,由b∈(0,class="stub"1
2
]得
所以0<1-2x2<1-2x1,0<1+2x1<1+2x2
从而f(x2)-f(x1)=lg
1-2x2
1+2x2
-lg
1-2x1
1+2x1
=lg
(1-2x2)(1+2x1)
(1+2x2)(1-2x1)
<lg1=0
∴f(x2)<f(x1)
因此f(x)在(-b,b)内是减函数

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