首页 > 设α、β为锐角，且a=（sinα，-cosα），b=（-cosβ，sinβ），a+b=（66，22），求a•b和cos（α+β）的值．-数学

设α、β为锐角，且a=（sinα，-cosα），b=（-cosβ，sinβ），a+b=（66，22），求a•b和cos（α+β）的值．-数学

题目简介

设α、β为锐角，且a=（sinα，-cosα），b=（-cosβ，sinβ），a+b=（66，22），求a•b和cos（α+β）的值．-数学

题目详情

设α、β为锐角，且
a
=（sinα，-cosα），
b
=（-cosβ，sinβ），
a
+
b
=（
6
6
，
2
2
），求
a
•
b
和cos（α+β）的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

∵
a
=（sinα，-cosα），
b
=（-cosβ，sinβ），
∴
a
+
b
=（sinα-cosβ，-cosα+sinβ），又
a
+
b
=（
6
6
，
2
2
），
∴sinα-cosβ=
6
6
，cosα-sinβ=-
2
2
，
∴（sinα-cosβ）2+（cosα-sinβ）2=class="stub"2
3
，
整理得：sin2α+cos2β-2sinαcosβ+cos2α+sin2β-2cosαsinβ=2-2（sinαcosβ+cosαsinβ）=class="stub"4
9
，
即sin（α+β）=class="stub"7
9
，
∴
a
•
b
=-sinαcosβ-cosαsinβ=-（sinαcosβ+cosαsinβ）=-sin（α+β）=-class="stub"7
9
；
又sinα-cosβ＞0，即sinα＞sin（class="stub"π
2
-β），且α、β均为锐角，
∴class="stub"π
2
＜α+β＜π，
∴cos（α+β）=-
1-sin2(α+β)
=-
4
2
9
．

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