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在三角形△ABC中，BC=1，sin(A-π4)=210．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．-数学

题目简介

在三角形△ABC中，BC=1，sin(A-π4)=210．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．-数学

题目详情

在三角形△ABC中，BC=1，sin(A-
π
4
)=
2
10
．
（Ⅰ）求sinA的值；  
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）由sin(A-class="stub"π
4
)=sinAcosclass="stub"π
4
-cosAsinclass="stub"π
4
=
2
10
，
即
2
2
（sinA-cosA）=
2
10
，
∴sinA-cosA=class="stub"1
5
，
∴(sinA-cosA)2=1-sin2A=class="stub"1
25
，
∴sin2A=class="stub"24
25
，且角A为锐角，
又(sinA+cosA)2=1+sin2A=1+class="stub"24
25
=class="stub"49
25
，
sinA+cosA=class="stub"7
5
，sinA+cosA=-class="stub"7
5
（舍去），
联立得：
sinA-cosA=class="stub"1
5
sinA+cosA=class="stub"7
5
，
解得：sinA=class="stub"4
5
；
（Ⅱ）设△ABC的角A，B，C所对的三边长分别为a，b，c，
∵sinA=class="stub"4
5
，cosA=class="stub"3
5
，
∴S=class="stub"1
2
bcsinA=class="stub"1
2
bc×class="stub"4
5
=class="stub"2
5
bc，
由余弦定理有a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-2bc×class="stub"3
5
，
∴1≥2bc-class="stub"6
5
bc=class="stub"4
5
bc，即bc≤class="stub"5
4
，
∴S=class="stub"2
5
bc≤class="stub"2
5
×class="stub"5
4
=class="stub"1
2
，
则△ABC面积的最大值为class="stub"1
2
．

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