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已知π2＜β＜α＜3π4，cos（α-β）=1213，sin（α+β）=-35，则sinα+cosβ=______．-数学

题目简介

已知π2＜β＜α＜3π4，cos（α-β）=1213，sin（α+β）=-35，则sinα+cosβ=______．-数学

题目详情

已知
π
2
＜β＜α＜
3π
4
，cos（α-β）=
12
13
，sin（α+β）=-
3
5
，则sinα+cosβ=______．
题型：填空题难度：中档来源：不详

答案

∵class="stub"π
2
＜β＜α＜class="stub"3π
4
，
∴-class="stub"3π
4
＜-β＜-class="stub"π
2
，
∴π＜α+β＜class="stub"3π
2
，0＜α-β＜class="stub"π
4
．
又cos（α-β）=class="stub"12
13
，sin（α+β）=-class="stub"3
5
，
∴sin（α-β）=
1-cos2(α-β)
=class="stub"5
13
，
cos（α+β）=-class="stub"4
5
，
∴cos[（α-β）+（α+β）]=cos（α-β）cos（α+β）-sin（α-β）sin（α+β）
=class="stub"12
13
×（-class="stub"4
5
）-class="stub"5
13
×（-class="stub"3
5
）
=-class="stub"33
65
．
同理可求：cos[（α+β）-（α-β）]=-class="stub"63
65
；
又α=
(α-β)+(α+β)
2
，β=
(α+β)-(α-β)
2
，
由class="stub"π
2
＜β＜α＜class="stub"3π
4
可知，sinα＞0，cosβ＜0．
∴sinα=sin
(α-β)+(α+β)
2
=
1-cos[(α-β)+(α+β)]
2
=
1- (-class="stub"33
65
)
2
=class="stub"7
65
，
cosβ=cos
(α+β)-(α-β)
2
=-
1+cos[(α+β)-(α-β)]
2
=-
1+ (-class="stub"63
65
)
2
=-class="stub"1
65
，
∴sinα+cosβ=class="stub"6
65
=
6
65
65
．
故答案为：
6
65
65
．

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