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已知f(x)=sinωx(sinωx+3cosωx)-12，(x∈R，ω＞0)，若f(x)的最小正周期为2π．（I）求f（x）的表达式和f（x）的单调递增区间；（II）求f(x)在区间[-π6，5π6

题目简介

已知f(x)=sinωx(sinωx+3cosωx)-12，(x∈R，ω＞0)，若f(x)的最小正周期为2π．（I）求f（x）的表达式和f（x）的单调递增区间；（II）求f(x)在区间[-π6，5π6

题目详情

已知f(x)=sinωx(sinωx+
3
cosωx)-
1
2
，(x∈R，ω＞0)，若f(x)的最小正周期为2π．
（I）求f（x）的表达式和f（x）的单调递增区间；
（II）求f(x)在区间[-
π
6
，
5π
6
]的最大值和最小值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵f（x）=sinωx（sinωx+
3
cosωx）-class="stub"1
2

=class="stub"1-cos2ωx
2
+
3
2
sin2ωx-class="stub"1
2

=
3
2
sin2ωx-class="stub"1
2
cos2ωx
=sin（2ωx-class="stub"π
3
）…3′
又f（x）的周期为2π，2π=class="stub"2π
2ω
⇒ω=class="stub"1
2
，…4′
∴f（x）=sin（x-class="stub"π
6
）…5′
由2kπ-class="stub"π
2
≤x-class="stub"π
6
≤2kπ+class="stub"π
2
（k∈Z）⇒2kπ-class="stub"π
3
≤x≤2kπ+class="stub"2π
3
（k∈Z），
即f（x）的单调递增区间为[2kπ-class="stub"π
3
，2kπ+class="stub"2π
3
]（k∈Z），…7′
（2）∵-class="stub"π
6
≤x≤class="stub"5π
6
，
∴-class="stub"π
3
≤x-class="stub"π
6
≤class="stub"2π
3
，…8′
∴当x-class="stub"π
6
=class="stub"π
2
，即x=class="stub"2π
3
时，f（x）max=1；
当x-class="stub"π
6
=-class="stub"π
3
，即x=-class="stub"π
6
时，f（x）min=-
3
2
，…12′
∴当x=class="stub"2π
3
时，f（x）max=1；当x=-class="stub"π
6
时，f（x）min=-
3
2
…13

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