设函数f（x）=（x+1）n（n∈N），且当x=2时，f（x）的值为17+122；g（x）=（x+a）m（a≠1，a∈R），定义：F（x）=C2m+14n-7f（x）-C2n+94m+1g（x）．（1

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设函数f（x）=（x+1）ⁿ（n∈N），且当x=

时，f（x）的值为17+12

；g（x）=（x+a）^m（a≠1，a∈R），定义：F（x）=

2m+14n-7

f（x）-

2n+94m+1

g（x）．
（1）当a=-1时，F（x）的表达式．
（2）当x∈[0，1]时，F（x）的最大值为-65，求a的值．

题型：解答题难度：中档来源：蚌埠二模

答案

∵f（x）=（x+1）n，f（

）=17+12

，∴n=4 …（2分）
又∵

4n-7≥2m+1

4m+1≥2n+9

，∴m=4，
∴F（x）=（x+1）4-（x+a）4…（4分）
（1）当a=-1时，F（x）=（x+1）4-（x+a）4=8x3+8x   …（6分）
（2）∵F（x）=（x+1）4-（x+a）4=4（1-a）x3+6（1-a2）x2+4（1-a3）x+1-a4
∵F′（x）=12（1-a）x2+12（1-a2）x+4（1-a3）    …（8分）
△=[12（1-a2）]2-4•12（1-a）•4（1-a3）=-48（1-a）4＜0       （a≠1）
①当1-a＞0时，F′（x）＞0，F（x）为增函数．
∵x∈[0，1]
∴F（1）=-65∴2 4-（1+a）4=-65
∴1+a=±3
∴a=-4或a=2（舍去）
②当1-a＜0时，F′（x）＜0，F（x）为减函数．
∴F（0）=-65，∴14-a4=-65
∴a=

4	66

a=-

4	66

（舍去）
综上：a=

4	66

或a=-4 …（12分）

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设函数f（x）=（x+1）n（n∈N），且当x=2时，f（x）的值为17+122；g（x）=（x+a）m（a≠1，a∈R），定义：F（x）=C2m+14n-7f（x）-C2n+94m+1g（x）．（1

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