首页 > 函数f（x）=11+a•2bx的定义域为R，且limn→∞f（-n）=0（n∈N*）（Ⅰ）求证：a＞0，b＜0；（Ⅱ）若f（1）=45，且f（x）在[0，1]上的最小值为12，试求f（x）的解析式；（

函数f（x）=11+a•2bx的定义域为R，且limn→∞f（-n）=0（n∈N*）（Ⅰ）求证：a＞0，b＜0；（Ⅱ）若f（1）=45，且f（x）在[0，1]上的最小值为12，试求f（x）的解析式；（

题目简介

函数f（x）=11+a•2bx的定义域为R，且limn→∞f（-n）=0（n∈N*）（Ⅰ）求证：a＞0，b＜0；（Ⅱ）若f（1）=45，且f（x）在[0，1]上的最小值为12，试求f（x）的解析式；（

题目详情

函数f（x）=
1
1+a•2bx
的定义域为R，且
lim
n→∞
f（-n）=0（n∈N*）
（Ⅰ）求证：a＞0，b＜0；
（Ⅱ）若f（1）=
4
5
，且f（x）在[0，1]上的最小值为
1
2
，试求f（x）的解析式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下记Sn=f（1）+f（2）+…+f（n）（n∈N），试比较Sn与n+
1
2n+1
+
1
2
(n∈N*)的大小并证明你的结论．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

解（Ⅰ）∵f（x）定义域为R，∴1+a•2bx≠0，即a≠-2-bx而x∈R，∴a≥0．
若a=0，f（x）=1与
lim
n→∞
f（-n）=0矛盾，∴a＞0，∴
lim
n→∞
f(-n)=
lim
n→∞
class="stub"1
1+a•2-bx
=
1(0＜2-b＜1)
class="stub"1
1+a
(2-b=1)
0(2-b＞1)
∴2-b＞1即b＜0，故a＞0，b＜0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在[0，1]上为增函数，
∴f（0）=class="stub"1
2
，即class="stub"1
1+a
=class="stub"1
2
，∴a=1，f（1）=class="stub"1
1+a•2b
=class="stub"4
5
，
∴2b=class="stub"1
4
，∴b=-2，∴f（x）=class="stub"1
1+2-2x
=
4x
1+4x
=1-class="stub"1
1+4x
．
（Ⅲ）当k∈N*时，Sn＜n+class="stub"1
2n+1
+class="stub"1
2
，证明如下：
f（k）=1-class="stub"1
1-4k
＜1，∴f（1）+f（2）+f（3）++f（n）＜n
而n+class="stub"1
2n+1
+class="stub"1
2
＞n，∴k∈N*时，Sn＜n+class="stub"1
2n+1
+class="stub"1
2

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