首页 > 函数f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，当x∈[-1，0]时，f（x）=x3-3ax（a为常数）．（1）当x∈[0，1]时，求f（x）的解析式；（2）求f（x）在[0，1]上的最大值．-数学

函数f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，当x∈[-1，0]时，f（x）=x3-3ax（a为常数）．（1）当x∈[0，1]时，求f（x）的解析式；（2）求f（x）在[0，1]上的最大值．-数学

题目简介

函数f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，当x∈[-1，0]时，f（x）=x3-3ax（a为常数）．（1）当x∈[0，1]时，求f（x）的解析式；（2）求f（x）在[0，1]上的最大值．-数学

题目详情

函数f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，当x∈[-1，0]时，f（x）=x3-3ax（a为常数）．
（1）当x∈[0，1]时，求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[0，1]上的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，所以f（-x）=-x3+3ax，
又因为f（x） 是偶函数，所以f（-x）=f（x），
故f（x）=-x3+3ax，x∈[0，1]；
（2）x∈[0，1]时，f（x）=-x3+3ax，f′（x）=-3x2+3a=-3（x2-a），
ⅰ）当a≤0 时，f′（x）≤0恒成立，f（x）在[0，1]上单调递减．
fmax（x）=f（0）=0；
ⅱ）当 a＞0时，由f′（x）=0得x=
a
，
①当a≥1 时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在[0，1]上单调递增．
fmax（x）=f（1）=-1+3a；
②当0＜a＜1时，f′（x）=-3（x+
a
）（x-
a
），
当0≤x＜
a
时，f′（x）＞0，f（x）在递增，当
a
＜x≤1时，f′（x）递减，
所以fmax（x）=f（
a
）=2a
a
．
综上所述：当a≤0时，fmax（x）=0；当a≥1时，fmax（x）=-1+3a；当0＜a＜1 时，fmax（x）=2a
a
．

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