已知函数在处的切线斜率为零.(Ⅰ)求x0和b的值;(Ⅱ)求证:在定义域内f(x)≥0恒成立;(Ⅲ)若函数有最小值m,且,求实数a的取值范围.-高三数学

题目简介

已知函数在处的切线斜率为零.(Ⅰ)求x0和b的值;(Ⅱ)求证:在定义域内f(x)≥0恒成立;(Ⅲ)若函数有最小值m,且,求实数a的取值范围.-高三数学

题目详情

已知函数 在 处的切线斜率为零.
(Ⅰ)求 x0和b 的值;
(Ⅱ)求证:在定义域内 f(x)≥0恒成立;  
(Ⅲ) 若函数 有最小值m ,且 ,求实数a 的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:浙江省模拟题

答案

(Ⅰ)解:求导函数可得
由题意有f'(x0)=0,即,解得x0=e或x0=-3e(舍去).
 ∴f(e)=0即,解得
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知
f'(x)=
在区间(0,e)上,有f'(x)<0;
在区间(e,+∞)上,有f'(x)>0.
故f(x)在(0,e)单调递减,在(e,+∞)单调递增,
于是函数f(x)在(0,+∞)上的最小值是f(e)=0.
故当x>0时,有f(x)≥0恒成立.
(Ⅲ)解:(x>0).
当a>3e2时,则,当且仅当x= a-3e2 时等号成立,
故F(x)的最小值>2e,符合题意;       
当a=3e2时,函数F(x)=x+2e在区间(0,+∞)上是增函数,不存在最小值,不合题意;
当a<3e2时,函数在区间(0,+∞)上是增函数,不存在最小值,不合题意.
综上,实数a的取值范围是(3e2,+∞).                                 

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