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> 已知函数f(x)=ax4lnx+bx4﹣c(x>0)在x=1处取得极值﹣3﹣c,其中a,b,c为常数.(1)试确定a,b的值;(2)求函数f(x)的单调增区间;(3)若对任意x>0,不等式f(x)≥﹣
已知函数f(x)=ax4lnx+bx4﹣c(x>0)在x=1处取得极值﹣3﹣c,其中a,b,c为常数.(1)试确定a,b的值;(2)求函数f(x)的单调增区间;(3)若对任意x>0,不等式f(x)≥﹣
题目简介
已知函数f(x)=ax4lnx+bx4﹣c(x>0)在x=1处取得极值﹣3﹣c,其中a,b,c为常数.(1)试确定a,b的值;(2)求函数f(x)的单调增区间;(3)若对任意x>0,不等式f(x)≥﹣
题目详情
已知函数f(x)=ax
4
lnx+bx
4
﹣c(x>0)在x=1处取得极值﹣3﹣c,其中a,b,c为常数.
(1)试确定a,b的值;
(2)求函数f(x)的单调增区间;
(3)若对任意x>0,不等式f(x)≥﹣(c﹣1)
4
+(c﹣1)
2
﹣c+9恒成立,求c的取值范围.
题型:解答题
难度:中档
来源:江苏省月考题
答案
解:(1)由题意知f(1)=﹣3﹣c,
因此b﹣c=﹣3﹣c,
从而b=﹣3.
又对f(x)求导得f'(x)=4ax3lnx+ax4=x3(4alnx+a+4b).
由题意f'(1)=0,
因此a+4b=0,解得a=12.
(2)由(1)知f'(x)=48x3lnx(x>0),
令f'(x)>0,解得x>1.
因此f(x)的单调递增区间为(1,+∞).
(3)由(2)知,f(x)在x=1处取得极小值f(1)=﹣3﹣c,
此极小值也是最小值,要使f(x)≥﹣(c﹣1)4+(c﹣1)2﹣c+9(x>0)恒成立,
即﹣3﹣c≥﹣(c﹣1)4+(c﹣1)2﹣c+9(x>0)恒成立,
令t=(c﹣1)2(t≥0),则t≥4或t≤﹣3(舍).
∴(c﹣1)2≥4,
解得c∈(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞).
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已知函数f(x)=ax4lnx+bx4﹣c(x>0)在x=1处取得极值﹣3﹣c,其中a,b,c为常数.(1)试确定a,b的值;(2)求函数f(x)的单调增区间;(3)若对任意x>0,不等式f(x)≥﹣
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(1)试确定a,b的值;
(2)求函数f(x)的单调增区间;
(3)若对任意x>0,不等式f(x)≥﹣(c﹣1)4+(c﹣1)2﹣c+9恒成立,求c的取值范围.
答案
因此b﹣c=﹣3﹣c,
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∴(c﹣1)2≥4,
解得c∈(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞).