已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与时,都取得极值.(1)求a,b的值;(2)若,求f(x)的单调区间和极值;(3)若对x∈[﹣1,2]都有恒成立,求c的取值范围.-高三数学

题目简介

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与时,都取得极值.(1)求a,b的值;(2)若,求f(x)的单调区间和极值;(3)若对x∈[﹣1,2]都有恒成立,求c的取值范围.-高三数学

题目详情

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与时,都取得极值.
(1)求a,b的值;
(2)若,求f(x)的单调区间和极值;
(3)若对x∈[﹣1,2]都有恒成立,求c的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:江苏同步题

答案

解:(1)求导函数,可得f′(x)=3x2+2a x+b.
由题设,∵函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与时,都取得极值.
∴x=1,x=﹣为f′(x)=0的解.
∴﹣a=1﹣=1×(﹣).
解得a=﹣,b=﹣2
此时,f′(x)=3x2﹣x﹣2=(x﹣1)(x+),
x=1与都是极值点.
(2)f (x)=x3﹣x2﹣2 x+c,由f (﹣1)=﹣1﹣+2+c=
∴c=1.
∴f (x)=x3﹣x2﹣2 x+1.

当x=﹣时,f (x)有极大值,f (﹣)=
当x=1时,f (x)有极小值,f (1)=﹣
(3)由(1)得,f′(x)=(x﹣1)(3x+2),f (x)=x3﹣x2﹣2 x+c,
f (x)在[﹣1,﹣)及(1,2]上递增,在(﹣,1)递减.
而f (﹣)=﹣++c=c+,f (2)=8﹣2﹣4+c=c+2.
∴f (x)在[﹣1,2]上的最大值为c+2.



∴0<c<1或c<﹣3

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