已知函数F(x)=ax-lnx(a>0)(1)若曲线y=f(x)在点(l,f(l))处的切线方程为y=2x+b,求a,b的值;(2)若当x∈[l,e]时,函数f(x)的最小值是4,求函数f(x)在该区

题目简介

已知函数F(x)=ax-lnx(a>0)(1)若曲线y=f(x)在点(l,f(l))处的切线方程为y=2x+b,求a,b的值;(2)若当x∈[l,e]时,函数f(x)的最小值是4,求函数f(x)在该区

题目详情

已知函数F(x)=ax-lnx(a>0)
(1)若曲线y=f(x)在点(l,f(l))处的切线方程为y=2x+b,求a,b的值;
(2)若当x∈[l,e]时,函数f(x)的最小值是4,求函数f(x)在该区间上的最大值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)求导函数,可得f′(x)=a-class="stub"1
x
(x>0)…(1分)
由f′(1)=a-1=2,∴a=3…(2分)
∴f(1)=3…(3分)
∴b=f(1)-2×1=1…(4分)
(2)定义域为(0,+∞),f′(x)=a-class="stub"1
x
=class="stub"ax-1
x
…(5分)
由f′(x)>0,得x>class="stub"1
a
,f′(x)<0,得0<x<class="stub"1
a

∴f(x)在(0,class="stub"1
a
)上单调递减,在(class="stub"1
a
,+∞
)单调递增…(7分)
class="stub"1
a
≤1
,即a≥1时,f(x)在[1,e]单调递增,∴f(x)min=f(1)=a=4,此时f(x)max=f(e)=4e-1…(9分)
class="stub"1
a
≥e
,即0<a≤class="stub"1
e
时,f(x)在[1,e]单调递减,∴f(x)min=f(e)=ae-1=4,∴a=class="stub"5
e
>class="stub"1
e
(不合题意)…(11分)
1<class="stub"1
a
<e
,即class="stub"1
e
<a<1
时,f(x)在(1,class="stub"1
a
)单调递减,在(class="stub"1
a
,e)单调递增,∴f(x)min=f(class="stub"1
a
)=1+lna=4
此时a=e3(不合题意)
综上知,f(x)max=4e-1…(13分)

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