首页 > 设函数f（x）=lnx-12ax2-bx．（Ⅰ）当a=b=12时，求f（x）的最大值；（Ⅱ）令F（x）=f（x）+12ax2+bx+ax（0＜x≤3），以其图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的

设函数f（x）=lnx-12ax2-bx．（Ⅰ）当a=b=12时，求f（x）的最大值；（Ⅱ）令F（x）=f（x）+12ax2+bx+ax（0＜x≤3），以其图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的

题目简介

设函数f（x）=lnx-12ax2-bx．（Ⅰ）当a=b=12时，求f（x）的最大值；（Ⅱ）令F（x）=f（x）+12ax2+bx+ax（0＜x≤3），以其图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的

题目详情

设函数f（x）=lnx-
1
2
ax2-bx．
（Ⅰ）当a=b=
1
2
时，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）+
1
2
ax2+bx+
a
x
（0＜x≤3），以其图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤
1
2
恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a=0，b=-1时，方程2mf（x）=x2有唯一实数解，求正数m的值．
题型：解答题难度：中档来源：渭南三模

答案

（Ⅰ）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞）．（1分）
当a=b=class="stub"1
2
时，f(x)=lnx-class="stub"1
4
x2-class="stub"1
2
x，
f′(x)=class="stub"1
x
-class="stub"1
2
x-class="stub"1
2
=
-(x+2)(x-1)
2x
．（2分）
令f′（x）=0，解得x=1．
当0＜x＜1时，f′（x）＞，此时f（x）单调递增；
当x＞1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减．（3分）
所以f（x）的极大值为f(1)=-class="stub"3
4
，此即为最大值．（4分）
（Ⅱ）F(x)=lnx+class="stub"a
x
，x∈(0，3]，
所以k=F′(x0)=
x0-a
x02
≤class="stub"1
2
，在x0∈（0，3]上恒成立，（6分）
所以a≥(-class="stub"1
2
，x02+x0)max，x0∈（0，3]（7分）
当x0=1时，-class="stub"1
2
 x02 +x0取得最大值class="stub"1
2
．所以a≥class="stub"1
2
．（9分）
（Ⅲ）因为方程2mf（x）=x2有唯一实数解，
所以x2-2mlnx-2mx=0有唯一实数解．
设g（x）=x2-2mlnx-2mx，则g′(x)=
2x2-2mx-2m
x
．
令g′（x）=0，得x2-mx-m=0．
因为m＞0，x＞0，
所以x1=
m-
m2+4m
2
＜0（舍去），x2=
m+
m2+4m​
2
，（10分）
当x∈（0，x2）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x2）单调递减，
当x∈（x2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）单调递增．
当x=x2时，g′（x2）=0g（x），g（x2）取最小值g（x2）．（11分）
因为g（x）=0有唯一解，所以g（x2）=0．
则
g(x2)=0
g′(x2)=0
，即
x22-2mlnx2-2mx2=0
x22-mx2-m =0

所以2mlnx2+mx2-m=0，
因为m＞0，所以2lnx2+x2-1=0．（12分）
设函数h（x）=2lnx+x-1，
因为当x＞0时，h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．（13分）
因为h（I）=0，所以方程的解为（X2）=1，即
m+
m2+4m
2
=1，
解得m=class="stub"1
2
（14分）

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