设f（x）=+xlnx，g（x）=x3-x2-3.（1）a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处得切线方程；（2）若果存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）-g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大

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设f（x）=+xlnx，g（x）=x³-x²-3.
（1）a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处得切线方程；
（2）若果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（3）如果对任意的s，t∈[，2]，都有f(s)≥g（t）成立，求实数a的取值范围。

题型：解答题难度：偏难来源：0111 月考题

答案

解：（Ⅰ）当a=2时，，，f（1）=2，，
所以曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y=-x+3；
（Ⅱ）存在，使得成立，等价于：
考察，）

	0				2
		-	0	+
g（x）	-3	递减	极小值	递增	1

由上表可知：
，
所以满足条件的最大整数M=4；
（Ⅲ）解法一：对任意的s，t∈，都有f（s）≥g（t）成立，
等价于：在区间上，函数f（x）的最小值不小于g（x）的最大值，
由（2）知，在区间上，g（x）的最大值为g（2）=1。
f（1）=a≥1，下证当a≥1时，在区间上，函数f（x）≥1恒成立。
当a≥1且时，，
记，，
当，；当

所以函数h（x）=在区间上递减，在区间(1，2]递增，
，即，所以当且时，成立，
即对任意s，t，都有；
解法二：当时，恒成立，
等价于恒成立，记，，
记，，由于，
所以在上递减，当时，，
时，，即函数h（x）=在区间上递增，在区间上递减，
所以，所以a≥1。

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设f（x）=+xlnx，g（x）=x3-x2-3.（1）a=2时，求曲线y=f（x）在x=1处得切线方程；（2）若果存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）-g（x2）≥M成立，求满足上述条件的最大

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