已知函数f(x)=sin(πx)-cos(πx)+2x(14≤x≤54),则f(x)的最小值为______.-数学

题目简介

已知函数f(x)=sin(πx)-cos(πx)+2x(14≤x≤54),则f(x)的最小值为______.-数学

题目详情

已知函数f(x)=
sin(πx)-cos(πx)+2
x
(
1
4
≤x≤
5
4
)
,则f(x)的最小值为______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

考查函数g(x)=sinπx-cosπx+2=
2
sin(πx-class="stub"π
4
)+2
class="stub"1
4
≤x≤class="stub"5
4

∴0≤πx-class="stub"π
4
≤π
∴0≤sin(πx-class="stub"π
4
)≤1
∴2≤g(x)≤
2
+2
当且仅当x=class="stub"1
4
class="stub"5
4
时,函数g(x)取得最小值2
又h(x)=
x
,当且仅当x=class="stub"5
4
时,函数h(x)取得最大值
5
2

∴当且仅当x=class="stub"5
4
时,f(x)的最小值为class="stub"2
5
2
=
4
5
5

故答案为:
4
5
5

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