如图,在△ABC中,∠ABC=60°,∠BAC=90°,AD是BC上的高,沿AD把△ABC折起,使∠BCD=90°。(Ⅰ)证明:平面ADB⊥平面BDC;(Ⅱ)设E为BC的中点,求与夹角的余弦值。-高三

题目简介

如图,在△ABC中,∠ABC=60°,∠BAC=90°,AD是BC上的高,沿AD把△ABC折起,使∠BCD=90°。(Ⅰ)证明:平面ADB⊥平面BDC;(Ⅱ)设E为BC的中点,求与夹角的余弦值。-高三

题目详情

如图,在△ABC中,∠ABC=60°,∠BAC=90°,AD是BC上的高,沿AD把△ABC折起,使∠BCD=90°。
(Ⅰ)证明:平面ADB⊥平面BDC;
(Ⅱ)设E为BC的中点,求夹角的余弦值。
题型:解答题难度:中档来源:陕西省高考真题

答案

(Ⅰ)证明:∵折起前AD是BC边上的高,
∴当ΔABD折起后,AD⊥DC,AD⊥DB,
又DB∩DC=D,
∴AD⊥平面BDC,
∵AD平面ADB,
∴平面ADB⊥平面BDC。
(Ⅱ )解:由∠BDC=90°及(Ⅰ)知DA,DB,DC两两垂直,
不妨设|DB|=1,
以D为坐标原点,以所在直线x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
易得D(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0),
A(0,0,),E(,0),
=(1,0,0),
夹角的余弦值为

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