如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=BB1=1,直线B1C与平面ABC成30°角,(Ⅰ)求证:平面B1AC⊥平面ABB1A1;(Ⅱ)求二面角B-B1C-A的大小;(Ⅲ)求点

题目简介

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=BB1=1,直线B1C与平面ABC成30°角,(Ⅰ)求证:平面B1AC⊥平面ABB1A1;(Ⅱ)求二面角B-B1C-A的大小;(Ⅲ)求点

题目详情

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=BB1=1 ,直线B1C与平面ABC成30°角,
(Ⅰ)求证:平面B1AC⊥平面ABB1A1
(Ⅱ)求二面角B-B1C-A的大小;
(Ⅲ)求点A1到平面B1AC的距离。
题型:解答题难度:中档来源:贵州省模拟题

答案

(Ⅰ)证明:由直三棱柱性质知BB1⊥平面ABC,


∴AC⊥平面
平面B1AC,
∴平面B1AC⊥平面
(Ⅱ)解:以A为原点,分别为x,y,z轴,
建立如图的空间直角坐标系A-xyz,
∵直线B1C与平面ABC成30°角,
,则

连结A1B,易知是平面B1AC的一个法向量,
=(0,1,-1),
为平面的一个法向量,



令x=1得,得
设二面角的大小为θ,

∴二面角的大小为
(Ⅲ)又
∴点A1到平面B1AC的距离

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