如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上.(Ⅰ)求证:平面AEC⊥平面PDB;(Ⅱ)当PD=AB且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小。-高三数学

题目简介

如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上.(Ⅰ)求证:平面AEC⊥平面PDB;(Ⅱ)当PD=AB且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小。-高三数学

题目详情

如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上.
(Ⅰ)求证:平面AEC⊥平面PDB;
(Ⅱ)当PD=AB且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小。
题型:解答题难度:中档来源:北京高考真题

答案

(Ⅰ)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,
∵PD⊥底面ABCD,
∴PD⊥AC,
∴AC⊥平面PDB,
∴平面AEC⊥平面PDB。
(Ⅱ)解:设AC∩BD=D,连结OE,
由(I)知AC⊥平面PDB于O,
∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角,
∵O,E分别为DB,PB的中点,
∴OE∥PD,OE=PD,
又∵PD⊥底面ABCD,
∴OE⊥底面ABCD,OE⊥AO,
在Rt△AOE中,
∴∠AEO=45°,即AE与平面PDB所成的角为45°。

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