如图,在平面四边形ABCD中,AB=BC=CD=1,∠B=90°,∠C=135°,沿对角线AC将△ABC折起,使平面ABC⊥平面ACD。(Ⅰ)求证:平面ABD⊥平面BCD;(Ⅱ)求二面角B-AD-C的

题目简介

如图,在平面四边形ABCD中,AB=BC=CD=1,∠B=90°,∠C=135°,沿对角线AC将△ABC折起,使平面ABC⊥平面ACD。(Ⅰ)求证:平面ABD⊥平面BCD;(Ⅱ)求二面角B-AD-C的

题目详情

如图,在平面四边形ABCD中,AB=BC=CD=1,∠B=90°,∠C=135°,沿对角线AC将△ABC折起,使平面ABC⊥平面ACD。
(Ⅰ)求证:平面ABD⊥平面BCD;
(Ⅱ)求二面角B-AD-C的大小。
题型:解答题难度:偏难来源:0113 期中题

答案

(Ⅰ)证明:∵∠B=90°,
∴AB⊥BC,
∵AB=BC,
∴∠BCA=∠BAC=45°,
又平面四边形ABCD中,∠C=135°,
∴∠DCA=90°,∴DC⊥AC,
∵平面ABC⊥平面ACD,平面ABC∩平面ACD=AC,DC平面ACD,
∴DC⊥平面ABC,∴AB⊥CD,
∵DC∩BC=C,
∴AB⊥平面BCD,
∵AB平面ABD,
∴平面ABD⊥平面PCD。
(Ⅱ)解:设AC的中点为O,连结BO,过O作OE⊥AD于E,连结BE,
∵AB=BC,O为AC的中点,
∴BO⊥AC,
∵平面ABC⊥平面ACD,平面ABC∩平面ACD=AC,BO平面ABC,
∴BO⊥平面ACD,
∵OE⊥AD,
∴BE⊥AD,
∴∠BEO为二面角B-AD-C的平面角,
在Rt△ABC中,BO=,AC=
∴在Rt△DCA中,AD=,∴OE=
∴在Rt△BOE中,,∴∠BEO=60°,
∴二面角B-AD-C的大小为60°。

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