三棱锥P-ABC中,∠BAC=90°,PA=PB=PC=BC=2AB=2,(1)求证:面PBC⊥面ABC;(2)求二面角B-AP-C的余弦值.-高三数学

题目简介

三棱锥P-ABC中,∠BAC=90°,PA=PB=PC=BC=2AB=2,(1)求证:面PBC⊥面ABC;(2)求二面角B-AP-C的余弦值.-高三数学

题目详情

三棱锥P-ABC中,∠BAC=90°,PA=PB=PC=BC=2AB=2,
(1) 求证:面PBC⊥面ABC;
(2) 求二面角B-AP-C的余弦值.

题型:解答题难度:中档来源:山东省模拟题

答案

(1)证明:取BC中点O,连接AO,PO,
由已知△BAC为直角三角形,所以可得OA=OB=OC,
又知PA=PB=PC,则△POA≌△POB≌△POC,
∴∠POA=∠POB=∠POC=90°,
∴PO⊥OB,PO⊥OA,OB∩OA=O,
所以PO⊥面BCD,
又PO面ABC,
∴面PBC⊥面ABC。
(2)解:过O作OD与BC垂直,交AC于D点,
如图建立坐标系O-xyz,


设面PAB的法向量为n1=(x,y,z),
由n1· =0,n1·=0,可知n1=(1,-,1);
同理可求得面PAC的法向量为n2=(3,,1),
∴cos(n1,n2)=

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