如图,四面体ABCD中,点O是BD的中点,且CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=,(1)求证:平面ABD⊥平面BCD;(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值。-高一数学

题目简介

如图,四面体ABCD中,点O是BD的中点,且CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=,(1)求证:平面ABD⊥平面BCD;(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值。-高一数学

题目详情

如图,四面体ABCD中,点O是BD的中点,且CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=
(1)求证:平面ABD⊥平面BCD;
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值。
题型:解答题难度:中档来源:0108 期末题

答案

(1)证明:连结AO,
∵O为BD的中点,AB=AD,
∴AO⊥BD,BC=CD,
∴BD⊥CO,

在△AOC中,由已知可得AO=1,,AC=2,
∴∠AOC=90°,
即AO⊥OC,
又AO⊥BD,BD∩OC=O,
∴AO⊥平面BCD,
又∵AO平面ABD,
∴平面ABD⊥平面BCD。
(2)解:取AC的中点M,BC的中点E,连接ME,OE,OM,
则ME∥AB,OE∥DC,
∴∠OEM(或其补角)为异面直线AB与CD所成的角,
在△OME中,
∵OM是Rt△AOC斜边AC上的中线,


∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为

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