如图,函数f(x)=x+的定义域为(0,+∞).设点P是函数图象上任一点,过点P分别作直线y=x和y轴的垂线,垂足分别为M,N.(1)证明:|PM|·|PN|为定值;(2)O为坐标原点,求四边形OMP

题目简介

如图,函数f(x)=x+的定义域为(0,+∞).设点P是函数图象上任一点,过点P分别作直线y=x和y轴的垂线,垂足分别为M,N.(1)证明:|PM|·|PN|为定值;(2)O为坐标原点,求四边形OMP

题目详情

如图,函数f(x)=x+的定义域为(0,+∞).设点P是函数图象上任一点,过点P分别作直线y=x和y轴的垂线,垂足分别为M,N.

(1)证明:|PM|·|PN|为定值;
(2)O为坐标原点,求四边形OMPN面积的最小值.
题型:解答题难度:偏易来源:不详

答案

(1)见解析    (2)+1
解:(1)设P(x0,x0+)(x0>0),
则|PN|=x0,|PM|=,因此|PM|·|PN|=1.
(2)连接OP,直线PM的方程为y-x0-=-(x-x0),
即y=-x+2x0+
解方程组
得x=y=x0+,∴|OM|=x0+
S四边形OMPN=S△NPO+S△OPM
|PN|·|ON|+|PM|·|OM|
x0(x0+)+ (x0+)
 ()≥+1.
当且仅当x0=,即x0=1时等号成立,因此四边形OMPN面积的最小值为+1.

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