如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上。(1)求证:平面AEC⊥平面PDB;(2)当,且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小。-高二数学

题目简介

如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上。(1)求证:平面AEC⊥平面PDB;(2)当,且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小。-高二数学

题目详情

如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上。
(1)求证:平面AEC⊥平面PDB;
(2)当,且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小。
题型:解答题难度:中档来源:0113 期中题

答案

(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,
∵PD⊥底面ABCD,
∴PD⊥AC,
∴AC⊥平面PDB,
∴平面AEC⊥平面PDB。
(2)解:设AC∩BD=O,连接OE,
由(1)知AC⊥平面PDB于O,
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角,
 又O,E分别为DB、PB的中点,
∴OE//PD,且
又∵PD⊥底面ABCD,
∴OE⊥底面ABCD,OE⊥AO,
在Rt△AOE中,
∴∠AOE=45°,
即AE与平面PDB所成的角的大小为45°。

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