如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面A1ABB1和BCC1B1是两个全等的正方形，AC1⊥平面A1DB，D为AC的中点．(Ⅰ)求证：平面A1ABB⊥平面BCC1B1；(Ⅱ)求证：B1C∥平面
(Ⅱ)解法一：由(Ⅰ)知BC，BB1，BA两两垂直，如图以B为原点，BC，BB1，BA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系B-xyz，设正方形边长为1，则，，由AC1⊥平面A1DB，得平面A1DB的法向量为，∵，∴，又平面A1DB，∴平面A1DB。解法二：连接AB1交A1B于点O，连接OD，∴O为AB1中点，又D为AC中点， ∴在△ACB1中，OD// CB1， ∵CB1平面A1DB1，OD平面A1DB， ∴B1C∥平面A1BD。
题目简介
如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面A1ABB1和BCC1B1是两个全等的正方形，AC1⊥平面A1DB，D为AC的中点．(Ⅰ)求证：平面A1ABB⊥平面BCC1B1；(Ⅱ)求证：B1C∥平面
题目详情
(Ⅰ)求证：平面A1ABB⊥平面BCC1B1；
(Ⅱ)求证：B1C∥平面A1DB；
(Ⅲ)设E是CC1上一点，试确定点E的位置，使平面A1DB⊥平面BDE，并说明理由．
答案
∴AC1⊥A1B，
又在正方形A1ABB1中，A1B⊥AB1，AC1∩AB1=A，
∴A1B⊥面AC1B1，
又B1C1
∴ A1B⊥B1C1，
又在正方形BCC1B1中有，B1C1⊥BB1，
又BB1∩A1B=B，
∴B1C1⊥平面A1ABB1，B1C1
∴平面A1ABB1⊥平面BCC1B1。
解法二：由已知可知三棱柱是直三棱柱，
∴四边形A1ACC1为矩形，
又AC1⊥平面A1DB，A1D
∴AC1⊥A1D，
又D为AC的中点，
∴由平面几何知识可知，△A1AD~△ACC1，
∴AA1：AD=AC：CC1，AC2= AA1·CC1=AB2，
∴AC=
∴AB⊥BC，
又BC⊥BB1且BB1∩AB=B，
∴BC⊥平面A1ABB1，BC
∴平面A1ABB1⊥平面BCC1B1。
(Ⅱ)解法一：由(Ⅰ)知BC，BB1，BA两两垂直，
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，
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平面A1DB，![]()
平面A1DB。![]()
平面A1DB1，OD![]()
平面A1DB，
如图以B为原点，BC，BB1，BA分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系B-xyz，
设正方形边长为1，则
由AC1⊥平面A1DB，得平面A1DB的法向量为
∵
∴
又
∴
解法二：连接AB1交A1B于点O，连接OD，
∴O为AB1中点，又D为AC中点，
∴在△ACB1中，OD// CB1，
∵CB1
∴B1C∥平面A1BD。
则有
令y=l，则m=(-b，1，b)，
由m·n=(1，1，-1)·(-b，1，b)=0，得b=
即当E为CC1中点时，平面A1BD⊥平面BDE。
解法二：取CC1中点E， D为AC中点，
在△ACC1中，
∴DE∥AC1，
又AC1⊥平面A1DB，
∴DE⊥平面A1DB，DE
∴平面A1DB⊥平面BDE，
即当E为CC1中点时，平面A1DB⊥平面BDE。