如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足为H,PH是四棱锥的高.(Ⅰ)证明:平面PAC⊥平面PBD;(Ⅱ)若AB=,∠APB=∠ADB=60°,求四棱锥P-ABCD的

题目简介

如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足为H,PH是四棱锥的高.(Ⅰ)证明:平面PAC⊥平面PBD;(Ⅱ)若AB=,∠APB=∠ADB=60°,求四棱锥P-ABCD的

题目详情

如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足为H,PH是四棱锥的高.
(Ⅰ)证明:平面PAC⊥平面PBD;
(Ⅱ)若AB=,∠APB=∠ADB=60°,求四棱锥P-ABCD的体积.
题型:解答题难度:中档来源:高考真题

答案

(Ⅰ)证明:因为PH是四棱锥P-ABCD的高,
所以AC⊥PH,
又AC⊥BD,PH,BD都在平面PBD内,且PH∩BD=H,
所以AC⊥平面PBD,
故平面PAC⊥平面PBD.
(Ⅱ)解:因为ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,AB=
所以HA=HB=
因为∠APB=∠ADB=60°,
所以PA=PB=,HD=HC=1,
可得PH=
等腰梯形ABCD的面积为
所以四棱锥的体积为

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