如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD。(1)证明:平面PQC⊥平面DCQ;(2)求二面角Q-BP-C的余弦值。-高三数学

题目简介

如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD。(1)证明:平面PQC⊥平面DCQ;(2)求二面角Q-BP-C的余弦值。-高三数学

题目详情

如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD。
(1)证明:平面PQC⊥平面DCQ;
(2)求二面角Q-BP-C的余弦值。
题型:解答题难度:中档来源:辽宁省高考真题

答案

解:如图,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz
(1)依题意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0)

所以
即PQ⊥DQ,PQ⊥DC
故PQ⊥平面DCQ
又PQ平面PQC,
所以平面PQC⊥平面DCQ。
(2)依题意有B(1,0,1),
是平面PBC的法向量,则

因此可取
设m是平面PBQ的法向量,则
可取
所以
故二面角Q-BP-C的余弦值为-

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