在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,E、G、F分别为MB、PB、PC的中点,且AD=PD=2MA。(I)求证:平面EFG⊥平面PDC;(Ⅱ)求三棱锥P-MAB

题目简介

在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,E、G、F分别为MB、PB、PC的中点,且AD=PD=2MA。(I)求证:平面EFG⊥平面PDC;(Ⅱ)求三棱锥P-MAB

题目详情

在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,E、G、 F分别为MB、PB、PC的中点,且AD=PD=2MA。
(I)求证:平面EFG⊥平面PDC;
(Ⅱ)求三棱锥P-MAB与四棱锥P-ABCD的体积之比。
题型:解答题难度:中档来源:山东省高考真题

答案

解:(I)证明:由已知MA⊥平面ABCD,PD∥MA
所以PD⊥平面ABCD
又BC平面ABCD
所以PD⊥BC
因为四边形ABCD为正方形
所以BC⊥DC
又PD∩DC=D
因此BC⊥平面PDC
在△PBC中,因为G、F分别为PB、PC的中点
所以GF∥BC
因此GF⊥平面PDC
又GF平面EFG
所以平面EFG⊥平面PDC;
(Ⅱ)因为PD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,不妨设MA=1,则PD=AD=2
所以
由于DA⊥面MAB,且PD∥MA
所以DA即为点P到平面MAB的距离
三棱锥
所以

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