如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=。(1)证明:平面PBE⊥平面PAB;(2)求二面角A-BE-P和的大小。-高三

题目简介

如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=。(1)证明:平面PBE⊥平面PAB;(2)求二面角A-BE-P和的大小。-高三

题目详情

如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=
(1)证明:平面PBE⊥平面PAB;
(2)求二面角A-BE-P和的大小。
题型:解答题难度:中档来源:湖南省高考真题

答案

解:(1)如图所示,连结BD,由ABCD是菱形且∠BCD=60°知,ΔBCD是等边三角形
因为E是CD的中点,
所以BE⊥CD,
又AB∥CD,
所以BE⊥AB
又因为PA⊥平面ABCD,BE平面ABCD,
所以PA⊥BE
而PA∩AB=A,
因此BE⊥平面PAB
又BE平面PBE,
所以平面PBE⊥平面PAB。
(2)由(1)知,BE⊥平面PAB,PB平面PAB,
所以PB⊥BE
又AB⊥BE,
所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角
在RtΔPAB中,tan∠PBA=,∠PBA=60°
故二面角A-BE-P的大小是60°。

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