首页 > 已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12．从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于12．设梯形的面积为S，梯形中较短-数学

已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12．从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于12．设梯形的面积为S，梯形中较短-数学

题目简介

已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12．从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于12．设梯形的面积为S，梯形中较短-数学

题目详情

已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12．从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于
1
2
．设梯形的面积为S，梯形中较短的底的长为x，试写出梯形面积S关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

∵矩形ABCD的长大于宽的2倍，矩形的周长为12，
∴AD＞4，AB＜2，
根据题意，可分为以下两种情况：
第一种情况，如图1，
当tan∠BAE=class="stub"1
2
时，设CE=x，BE=m，
则AB=DC=2m，AD=m+x，
∵AB+AD=6，
∴2（2m+m+x）=12，
m=class="stub"6-x
3
，
S梯形AECD=class="stub"1
2
（AD+EC）•DC，
=class="stub"1
2
[（m+x）+x]•2m，
=m（m+2x），
=class="stub"6-x
3
•class="stub"6+5x
3
，
=-class="stub"5
9
x2+class="stub"8
3
x+4，
class="stub"6-x
3
＞0，class="stub"6-x
3
+x＞4，
∴x＜6，x＞3，
∴x的取值范围是3＜x＜6；

第二种情况，如图2，
tan∠AEB=class="stub"1
2
时，
设CE=x，AB=CD=n，
则BE=2n，AD=2n+x，
∵矩形的周长为12，
∴AB+AD=6，
∴2（n+2n+x）=12，n=class="stub"6-x
3
，
S梯形AECD=class="stub"1
2
（AD+EC）•DC，
=class="stub"1
2
[（2n+x）+x]•n，
=n（n+x），
=class="stub"6-x
3
•class="stub"6+2x
3
，
=-class="stub"2
9
x2+class="stub"2
3
x+4，
∵class="stub"6-x
3
＞0，2×class="stub"6-x
3
+x＞4，
∴x＜6，x＞0，
∴x的取值范围是0＜x＜6．

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