(文)如图正方体ABCD-A1B1C1D1,在它的12条棱及12条面的对角线所在的直线中,选取若干条直线确定平面,在所有的这些平面中:(1)、过B1C且与BD平行的平面有且只有一个;(2)、过-数学

题目简介

(文)如图正方体ABCD-A1B1C1D1,在它的12条棱及12条面的对角线所在的直线中,选取若干条直线确定平面,在所有的这些平面中:(1)、过B1C且与BD平行的平面有且只有一个;(2)、过-数学

题目详情

(文)如图正方体ABCD-A1B1C1D1,在它的12条棱及12条面的对角线所在的直线中,选取若干条直线确定平面,在所有的这些平面中:
(1)、过B1C且与BD平行的平面有且只有一个;
(2)、过B1C且与BD垂直的平面有且只有一个;
(3)、存在平面α,过B1C与直线BD所成的角等于30.
其中是真命题的个数是(  )
A.0个B.1个C.2个D.3个
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题型:单选题难度:偏易来源:不详

答案

(1)在24条直线中,与直线BD平行的直线只有B1D1,故过B1C且与BD平行的平面有且只有一个即平面B1D1C,故(1)正确;
(2)因为直线BD与直线B1C所成的角即为∠A1DB,已知△A1DB为等边三角形,所以直线BD与直线B1C所成的角为60°,
假设存在过B1C且与BD垂直的平面α,则因为B1C⊂α,所以BD⊥B1C,这与事实矛盾
故不可能存在过B1C且与BD垂直的平面,(2)错误
(3)连接BC1交B1C于O
∵BC1⊥B1C,CD⊥BC1,B1C∩CD=C
∴BC1⊥平面A1B1CD,即BO⊥平面A1B1CD
∴∠BDO就是直线BD与平面A1B1CD所成的角
在直角三角形BDO中,BD=
2
a,BO=
2
2
a,
∴∠BDO=30°
∴直线BD与平面A1B1CD所成的角为30°
故存在平面α,即平面A1B1CD,过B1C与直线BD所成的角等于30°,(3)正确
故真命题的个数为2
故选C

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