已知(1+2x)n展开式中某项的系数恰为它的前一项系数的2倍,而等于它后一项系数的56,求该展开式中二项式系数最大的项.-数学

题目简介

已知(1+2x)n展开式中某项的系数恰为它的前一项系数的2倍,而等于它后一项系数的56,求该展开式中二项式系数最大的项.-数学

题目详情

已知(1+2
x
n展开式中某项的系数恰为它的前一项系数的2倍,而等于它后一项系数的
5
6
,求该展开式中二项式系数最大的项.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

根据题意,设该项为第r+1项,则有
Crn
2r=2
Cr-1n
2r-1
Crn
2r=class="stub"5
6
Cr+1n
2r+1

Crn
=
Cr-1n
Crn
=class="stub"5
3
Cr+1n
亦即
n=2r-1
class="stub"n!
r!(n-r)!
=class="stub"5
3
class="stub"n!
(r+1)!(n-r-1)!

解得
r=4
n=7.
,∴n=7.
设第s+1项系数最大,则有
Cs7
2s
Cs-17
2s-1
Cs7
2s
Cs+17
2s+1

2
Cs7
Cs-17
Cs7
≥2
Cs+17
亦即
2class="stub"7!
s!(7-s)!
≥class="stub"7!
(s-1)!(7-s+1)!
class="stub"7!
s!(7-s)!
≥2class="stub"7!
(s+1)!(7-s-1)!

解得
class="stub"2
s
≥class="stub"1
8-s
class="stub"1
7-s
≥class="stub"2
s+1
class="stub"13
3
≤s≤class="stub"16
3
,∴s=5
∴二项式展开式中系数最大的项为T6=672x  class="stub"5
2

更多内容推荐