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若n∈N*，(1+2)n=2an+bn（an、bn∈Z）．（1）求a5+b5的值；（2）求证：数列{bn}各项均为奇数．-数学

题目简介

若n∈N*，(1+2)n=2an+bn（an、bn∈Z）．（1）求a5+b5的值；（2）求证：数列{bn}各项均为奇数．-数学

题目详情

若n∈N*，(1+
2
)n=
2
an+bn（an、bn∈Z）．
（1）求a5+b5的值；
（2）求证：数列{bn}各项均为奇数．
题型：解答题难度：中档来源：普陀区二模

答案

（1）当n=5时，(1+
2
)5=
C05
+
C15
2
+
C25
(
2
)2+…+
C55
 (
2
)5
=[
C05
+
C25
(
2
)2+
C45
(
2
)4]+[
C15
2
+
C25
(
2
)3+
C55
(
2
)5]
=41+29
2

故a5=29，b5=41所以a5+b5=70
（2）证明：由数学归纳法
（i）当n=1时，易知b1=1，为奇数；
（ii）假设当n=k时，(1+
2
)k=
2
ak+bk，其中bk为奇数；
则当n=k+1时，(1+
2
)k+1=(1+
2
)k(1+
2
) =(
2
ak+bk)(1+
2
)
=
2
(ak+bk)+(bk+2ak)
∴bk+1=bk+2ak，又ak、bk∈Z，所以2ak是偶数，
由归纳假设知bk是奇数，故bk+1也是奇数
综（i）（ii）可知数列{bn}各项均为奇数．

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