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甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成-数学

题目简介

甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成-数学

题目详情

甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比、比例系数为b；固定部分为a元．
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为class="stub"s
v
，全程运输成本为y=a•class="stub"S
v
+bv2•class="stub"S
v
=S(class="stub"a
v
+bv)
故所求函数及其定义域为y=S(class="stub"a
v
+bv)，v∈(0，c]
（2）依题意知S，a，b，v都为正数，故有S(class="stub"a
v
+bv)≥2S
ab

当且仅当class="stub"a
v
=bv，．即v=
class="stub"a
b
时上式中等号成立
若
class="stub"a
b
≤c，则当v=
class="stub"a
b
时，全程运输成本y最小，
若
class="stub"a
b
＞c，即a＞bc2，则当v∈（0，c]时，有S(class="stub"a
v
+bv)-S(class="stub"a
c
+bc)=S[(class="stub"a
v
-class="stub"a
c
)+(bv-bc)]
=class="stub"S
vc
(c-v)(a-bcv)
因为c-v≥0，且a＞bc2，故有a-bcv≥a-bc2＞0，
所以S(class="stub"a
v
+bv)≥S(class="stub"a
c
+bc)，且仅当v=c时等号成立，
也即当v=c时，全程运输成本y最小．
综上知，为使全程运输成本y最小，当
ab
b
≤c时行驶速度应为v=
ab
b
；当
ab
b
＞c时行驶速度应为v=c．

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