已知函数f(x)=cossinx(x∈R),给出下列四个命题:①若f(x1)=-f(x2)则x1=-x2②f(x)的最小正周期是2π③在区间[-π4,π4]上是增函数;④f(x)的图象关于直线x=3π

题目简介

已知函数f(x)=cossinx(x∈R),给出下列四个命题:①若f(x1)=-f(x2)则x1=-x2②f(x)的最小正周期是2π③在区间[-π4,π4]上是增函数;④f(x)的图象关于直线x=3π

题目详情

已知函数f(x)=cossinx(x∈R),给出下列四个命题:
①若f(x1)=-f(x2)则x1=-x2
②f(x)的最小正周期是2π
③在区间[-
π
4
π
4
]上是增函数;
④f(x)的图象关于直线x=
4

其中真命题是(  )
A.①②④B.①③C.②③D.③④
题型:单选题难度:中档来源:日照一模

答案

∵f(x)=cosxsinx=class="stub"1
2
sin2x
若f(x1)=-f(x2),则sin2x1=-sin2x2=sin(-2x2)∴2x1=-2x2+2kπ时满足条件,即x1+x2=kπ可以,故①不正确;
T=class="stub"2π
2
,故②不正确;
-class="stub"π
2
+2kπ≤2x≤class="stub"π
2
+2kπ
,得-class="stub"π
4
+kπ≤x≤class="stub"π
4
+kπ
,当k=0时,x∈[-class="stub"π
4
class="stub"π
4
]f(x)是增函数,故③正确;
将x=class="stub"3π
4
代入函数f(x)得,f(class="stub"3π
4
)=-class="stub"1
2
为最小值,故f(x)的图象关于直线x=class="stub"3π
4
对称,④正确.
故选D.

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