已知命题P:函数f(x)=-13x3+mx2-(m+2)x+3在实数集R上是减函数;命题Q:函数g(x)=12x2mlnx在[1,+∞)上是增函数.若命题P与命题Q中至少有一个是假命题,求实数m的取值

题目简介

已知命题P:函数f(x)=-13x3+mx2-(m+2)x+3在实数集R上是减函数;命题Q:函数g(x)=12x2mlnx在[1,+∞)上是增函数.若命题P与命题Q中至少有一个是假命题,求实数m的取值

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已知命题P:函数f(x)=-
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3
x3+mx2-(m+2)x+3在实数集R上是减函数; 命题Q:函数g(x)=
1
2
x2mlnx在[1,+∞)上是增函数.若命题P与命题Q中至少有一个是假命题,求实数m的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

假设命题P与Q没有一个是假命题,即P,Q都为真命题.
(1)函数的导数为f'(x)=-x2+2mx-(m+2),要使函数在R上为减函数,
所以f'(x)=-x2+2mx-(m+2)≤0恒成立,所以4m2-4(m+2)≤0,解得-1≤m≤2.
(2)函数g(x)=class="stub"1
2
x2mlnx在[1,+∞)上是增函数.
g′(x)=x-class="stub"m
x
≥0,在[1,+∞)
上恒成立,
所以m≤x2在[1,+∞)上成立,所以m≤1.
综上P,Q都为真命题时,-1≤m≤1.所以命题P与命题Q中至少有一个是假命题时,则m<-1或m>1.

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