已知函数f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1].设命题p:“f(x)的定义域为R”;命题q:“f(x)的值域为R”(1)若命题p为真,求实数a的取值范围;(2)若命题q为真,求实数a的取

题目简介

已知函数f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1].设命题p:“f(x)的定义域为R”;命题q:“f(x)的值域为R”(1)若命题p为真,求实数a的取值范围;(2)若命题q为真,求实数a的取

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已知函数f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1].设命题p:“f(x)的定义域为R”;命题q:“f(x)的值域为R”
(1)若命题p为真,求实数a的取值范围;
(2)若命题q为真,求实数a的取值范围;
(3)¬p是q的什么条件?请说明理由.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)若命题p为真,即f(x)的定义域是R,
则(a2-1)x2+(a+1)x+1>0恒成立,…(2分)
则a=-1或
a2-1>0
△=(a+1)2-4(a2-1)<0.
…(3分)
解得a≤-1或a>class="stub"5
3

∴实数a的取值范围为(-∞,-1]∪(class="stub"5
3
,+∞).…(5分)
(2)若命题q为真,即f(x)的值域是R,
设u=(a2-1)x2+(a+1)x+1的值域为A
则A⊇(0,+∞),…(6分)
等价于a=1或
a2-1>0
△=(a+1)2-4(a2-1)≥0.
…(8分)
解得1≤a≤class="stub"5
3

∴实数a的取值范围为[1,class="stub"5
3
]
.…(10分)
(3)由(Ⅰ)(Ⅱ)知,
¬p:a∈(-1 , class="stub"5
3
]
;q:a∈[1 , class="stub"5
3
]

(-1,class="stub"5
3
]⊃[1,class="stub"5
3
]

∴¬p是q的必要而不充分的条件.…(13分)

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