设函数f(x)=ax+bx-cx,其中c>a>0,c>b>0.(1)记集合M={(a,b,c)|a,b,c不能构成一个三角形的三条边长,且a=b},则(a,b,c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合

题目简介

设函数f(x)=ax+bx-cx,其中c>a>0,c>b>0.(1)记集合M={(a,b,c)|a,b,c不能构成一个三角形的三条边长,且a=b},则(a,b,c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合

题目详情

设函数f(x)=ax+bx-cx,其中c>a>0,c>b>0.
(1)记集合M={(a,b,c)|a,b,c不能构成一个三角形的三条边长,且a=b},则(a,b,c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为______.
(2)若a,b,c是△ABC的三条边长,则下列结论正确的是______.(写出所有正确结论的序号)
①∀x∈(-∞,1),f(x)>0;
②∃x∈R,使ax,bx,cx不能构成一个三角形的三条边长;
③若△ABC为钝角三角形,则∃x∈(1,2),使f(x)=0.
题型:填空题难度:中档来源:湖南

答案

(1)因为c>a,由c≥a+b=2a,所以class="stub"c
a
≥2
,则lnclass="stub"c
a
≥ln2>0

令f(x)=ax+bx-cx=2ax-cx=cx[2(class="stub"a
c
)x-1]=0

(class="stub"c
a
)x=2
,所以x=class="stub"ln2
lnclass="stub"c
a
≤class="stub"ln2
ln2
=1

所以0<x≤1.
故答案为{x|0<x≤1};
(2)因为f(x)=ax+bx-cx=cx[(class="stub"a
c
)x+(class="stub"b
c
)x-1]

class="stub"a
c
<1,class="stub"b
c
<1

所以对∀x∈(-∞,1),(class="stub"a
c
)x+(class="stub"b
c
)x-1>(class="stub"a
c
)1+(class="stub"b
c
)1-1=class="stub"a+b-c
c
>0

所以命题①正确;
令x=-1,a=2,b=4,c=5.则ax=class="stub"1
2
,bx=class="stub"1
4
,cx=class="stub"1
5
.不能构成一个三角形的三条边长.
所以命题②正确;
若三角形为钝角三角形,则a2+b2-c2<0.
f(1)=a+b-c>0,f(2)=a2+b2-c2<0.
所以∃x∈(1,2),使f(x)=0.
所以命题③正确.
故答案为①②③.

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