设命题p:∃x∈R,x2+2ax-a=0.命题q:∀x∈R,ax2+4x+a≥-2x2+1.如果命题“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.-数学

题目简介

设命题p:∃x∈R,x2+2ax-a=0.命题q:∀x∈R,ax2+4x+a≥-2x2+1.如果命题“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.-数学

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设命题p:∃x∈R,x2+2ax-a=0.命题q:∀x∈R,ax2+4x+a≥-2x2+1.如果命题“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

∵∃x∈R,x2+2ax-a=0.
∴方程x2+2ax-a=0有解
∴△=4a2+4a≥0即a≥0或a≤-1
∴命题p为真时a的范围为a≥0或a≤-1
∵∀x∈R,ax2+4x+a≥-2x2+1
∴(a+2)x2+4x+a-1≥0在R上恒城立
∴显然a=-2时不恒成立,因此有
a+2>0
△=16-4(a+2)(a-1)≤0

解得a≥2,
∴命题q为真时a的范围为a≥2.
又∵命题“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题
∴p与q是一个为真一个为假
所以a∈(-∞,-1]∪[0,2)
所以实数a的取值范围为(-∞,-1]∪[0,2).

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