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已知数列{an}、{bn}、{cn}满足(an+1-an)(bn+1-bn)=cn(n∈N*)．（1）设cn=3n+6，{an}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设cn=n3

题目简介

已知数列{an}、{bn}、{cn}满足(an+1-an)(bn+1-bn)=cn(n∈N*)．（1）设cn=3n+6，{an}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设cn=n3

题目详情

已知数列{an}、{bn}、{cn}满足(an+1-an)(bn+1-bn)=cn(n∈N*)．
（1）设cn=3n+6，{an}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；
（2）设cn=n3，an= n2 -8n．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有bn≥bk；
（3）设cn=2n +n，an=
1+(-1)n
2
．当b1=1时，求数列{bn}的通项公式．
题型：解答题难度：中档来源：上海

答案

（1）∵an+1-an=3，
∴bn+1-bn=n+2，
∵b1=1，
∴b2=4，b3=8．
（2）∵an= n2 -8n．
∴an+1-an=2n-7，
∴bn+1-bn=
n3
2n-7
，
由bn+1-bn＞0，解得n≥4，即b4＜b5＜b6…；
由bn+1-bn＜0，解得n≤3，即b1＞b2＞b3＞b4．
∴k=4．
（3）∵an+1-an=（-1）n+1，
∴bn+1-bn=（-1）n+1（2n+n）．
∴bn-bn-1=（-1）n（2n-1+n-1）（n≥2）．
故b2-b1=21+1；
b3-b2=（-1）（22+2），
…
bn-1-bn-2=（-1）n-1（2n-2+n-2）．
bn-bn-1=（-1）n（2n-1+n-1）．
当n=2k时，以上各式相加得
bn-b1=（2-22+…-2n-2+2n-1）+[1-2+…-（n-2）+（n-1）]
=
2-2 n-1(-2)
1-(-2)
+class="stub"n
2
=
2+2n
3
+class="stub"n
2
．
∴bn=
2+2n
3
+class="stub"n
2
+1=
2n
3
+class="stub"n
2
+class="stub"5
3
．
当n=2k-1时，
bn=bn+1-(-1) n+1(2n+n)
=
2n+1
3
+class="stub"n+1
2
+class="stub"5
3
-（2n+n）
=-
2n
3
-class="stub"n
2
+class="stub"13
6

∴bn=
-
2n
3
-class="stub"n
2
+class="stub"13
6
       n=2k-1
2n
3
+class="stub"n
2
+class="stub"5
3
         n=2k
k∈N +．

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