首页 > 已知函数f(x)=ln(2+3x)-32x2．（I）求f（x）在[0，1]上的最大值；（II）若对任意的实数x∈[16，12]，不等式|a-lnx|+ln[f'（x）+3x]＞0恒成立，求实

已知函数f(x)=ln(2+3x)-32x2．（I）求f（x）在[0，1]上的最大值；（II）若对任意的实数x∈[16，12]，不等式|a-lnx|+ln[f'（x）+3x]＞0恒成立，求实

题目简介

已知函数f(x)=ln(2+3x)-32x2．（I）求f（x）在[0，1]上的最大值；（II）若对任意的实数x∈[16，12]，不等式|a-lnx|+ln[f'（x）+3x]＞0恒成立，求实

题目详情

已知函数f(x)=ln(2+3x)-
3
2
x2．
（I）求f（x）在[0，1]上的最大值；
（II）若对任意的实数x∈[
1
6
，
1
2
]，不等式|a-lnx|+ln[f'（x）+3x]＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（III）若关于x的方程f（x）=-2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：焦作模拟

答案

（I）f′(x)=class="stub"3
2+3x
-3x=
-3(x+1)(3x-1)
3x+2
，令f'（x）=0，得x=class="stub"1
3
或x=-1（舍）
当0≤x＜class="stub"1
3
时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当class="stub"1
3
＜x≤1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，∴f(class="stub"1
3
)=ln3-class="stub"1
6
是函数在[0，1]上的最大值
（2）|a-lnx|＞-lnclass="stub"3
2+3x
对x∈[class="stub"1
6
，class="stub"1
2
]恒成立
若lnclass="stub"3
2+3x
＞0即x∈[class="stub"1
6
，class="stub"1
3
 )恒成立
由|a-lnx|+ln[f'（x）+3x]＞0得a＞lnx-lnclass="stub"3
2+3x
或a＜lnx+lnclass="stub"3
2+3x

设h(x)=lnx-lnclass="stub"3
2+3x
= ln
2x+3x2
3
；g(x)=lnx+lnclass="stub"3
2+3x
= lnclass="stub"3
2+3x

依题意得a＞h（x）或a＜g（x）在x∈[class="stub"1
3
，class="stub"1
2
]恒成立
∵g′(x)=class="stub"2
x(2+3x)
＞0，h′(x)=class="stub"2+6x
2x+3x2
＞0
∴g（x），h（x）都在[class="stub"1
3
，class="stub"1
2
]上递增
∴a＞h(class="stub"1
2
)或a＜g(class="stub"1
3
)
即a＞lnclass="stub"7
12
或a＜lnclass="stub"1
3

（3）由f（x）=-2x+b知ln(2+3x)-class="stub"3
2
x2+2x-b=0，
令ϕ(x)=ln(2+3x)-class="stub"3
2
x2+2x-b，则ϕ′(x)=class="stub"3
2+3x
-3x+2=
7-9x2
2+3x

当x∈[0，
7
3
]时，ϕ'（x）＞0，于是ϕ（x）在[0，
7
3
]上递增；当x∈[
7
3
，1]时，ϕ'（x）＜0，于是ϕ（x）在[
7
3
，1]上递减，而ϕ(
7
3
)＞ϕ(0)，ϕ(
7
3
)＞ϕ(1)∴f（x）=-2x+b即ϕ（x）=0在[0，1]上恰有两个不同实根等价于
ϕ(0)=ln2-b≤0
ϕ(
7
3
)ln(2+
7
)-class="stub"7
6
+
2
7
3
-b＞0
ϕ(1)=ln5+class="stub"1
2
-b≤0
，解得ln5+class="stub"1
2
≤b＜ln(2+
7
)-class="stub"7
6
+
2
7
3

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