已知M是△ABC内的一点,且AB•AC=23,∠BAC=30°.定义:f(M)=(x,y,z),其中x,y,z分别为△MBC,△MCA,△MAB的面积,若f(M)=(x,y,12),则12x+2y的最

题目简介

已知M是△ABC内的一点,且AB•AC=23,∠BAC=30°.定义:f(M)=(x,y,z),其中x,y,z分别为△MBC,△MCA,△MAB的面积,若f(M)=(x,y,12),则12x+2y的最

题目详情

已知M是△ABC内的一点,且
AB
AC
=2
3
,∠BAC=30°.定义:f(M)=(x,y,z),其中x,y,z分别为△MBC,△MCA,△MAB的面积,若f(M)=(x,y,
1
2
),则
1
2x
+
2
y
的最小值为______,此时f(M)=(______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

AB
AC
=2
3
,∠BAC=30°,
|
AB
||•
AC
|
=4
∴S△ABC=class="stub"1
2
|
AB
||•
AC
|sin30°
=1
∵x,y,z分别为△MBC,△MCA,△MAB的面积,f(M)=(x,y,class="stub"1
2
),
∴x+y=class="stub"1
2

class="stub"1
2x
+class="stub"2
y
=2(x+y)(class="stub"1
2x
+class="stub"2
y
)=2(class="stub"1
2
+2+class="stub"y
2x
+class="stub"2x
y
)≥2(class="stub"5
2
+2
class="stub"y
2x
•class="stub"2x
y
=9
当且仅当class="stub"y
2x
=class="stub"2x
y
,即y=2x=class="stub"1
3
时,取等号,此时,class="stub"1
2x
+class="stub"2
y
的最小值为9,f(M)=(class="stub"1
6
,class="stub"1
3
,class="stub"1
2
)

故答案为:9,(class="stub"1
6
,class="stub"1
3
,class="stub"1
2
)

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