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某同学参加某高校自主招生3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程是否取得优秀成绩相-数学

题目简介

某同学参加某高校自主招生3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程是否取得优秀成绩相-数学

题目详情

某同学参加某高校自主招生3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为
4
5
，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
ξ0123
pi
6
125
xy
24
125
（Ⅰ）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；
（Ⅱ） 求数学期望Eξ．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

用Ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=1，2，3．
由题意得P(A1)=class="stub"4
5
，P(
.
A
1
.
A
2
.
A
3)=class="stub"6
125

（Ⅰ）该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率为P=1-P(
.
A
1
.
A
2
.
A
3)=1-class="stub"6
125
=class="stub"119
125

P(
.
A1
.
A2
.
A3
)=(1-P(A1))(1-P(A2))(1-P(A3))=class="stub"1
5
(1-p)(1-q)=class="stub"6
125

及P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=class="stub"4
5
pq=class="stub"24
125
得p=class="stub"2
5
，q=class="stub"3
5
．
（Ⅱ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=class="stub"6
125
，
P(ξ=1)=class="stub"4
5
×class="stub"3
5
×class="stub"2
5
+class="stub"1
5
×class="stub"2
5
×class="stub"2
5
+class="stub"1
5
×class="stub"3
5
×class="stub"3
5
=class="stub"37
125
，P(ξ=2)=class="stub"4
5
×class="stub"2
5
×class="stub"2
5
+class="stub"4
5
×class="stub"3
5
×class="stub"3
5
+class="stub"1
5
×class="stub"2
5
×class="stub"3
5
=class="stub"58
125
，
P（ξ=3）=1-class="stub"6
125
-class="stub"37
125
-class="stub"58
125
=class="stub"24
125
．
ξ0123
piclass="stub"6
125
class="stub"37
125
class="stub"58
125
class="stub"24
125
∴E(ξ)=0×class="stub"6
125
+1×class="stub"37
125
+2×class="stub"58
125
+3×class="stub"24
125
=class="stub"9
5
．
∴该生取得优秀成绩的课程门数的期望为class="stub"9
5
．

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